პითაგორა

პითაგორა

    

     ძველი ბერძენი მათემატიკოსი, ცნობილი როგორც „რიცხვთა მამა“ დაიბადა ძვ.წ.-ით 580 წელს ბერძნულ პოლის კროტონში. იგი იყო კუნძულ სამოსიდან,ამიტომ მათემატიკის ისტორიაში ცნობილია, როგორც პითაგორა სამოსელი. პითაგორა ძალზე დაბალი, მაგრამ ფიზიკურად ძლიერი და მკვირცხლი ყოფილა, 2550 წლის წინათ ჩატარებულ ოლიმპიადზე ოქროს მედალი მოუპოვებია.

     პითაგორა ბევრს მოგზაურობდა სხვადასხვა ქვეყნებში და ეცნობოდა ამა თუ იმ ქვეყნის მიღწევებს. დაახლ. ძვ.წ.-ით 530 წელს დაბრუნდა სამშობლოში და თანამოაზრეთა ფარული რელიგიურ-ფილოსოფიური კავშირი ჩამოაყალიბა, რომელიც პითაგორას სახელს ატარებდა.
     პითაგორელთა კავშირის წევრები, პოლიტიკურ და რელიგიურ საკითხებთან ერთად სწავლობდნენ არითმეტიკას, ასტრონომიას, გეომეტრიას, მუშაობდნენ რიცხვთა თეორიაში, აყალიბებდნენ მოძღვრებას  ჰარმონიის შესახებ. პითაგორა ფილოსოფიური მოძღვრების ფუძემდებელი იყო, რომელიც სამყაროში არსებულ მოვლენებსმათემატიკური კანონებით ხსნიდა.
       თანამედროვე მსოფლიოში, პითაგორა ცნობილია მის მიერ დამტკიცებული თეორემით - „ პითაგორას თეორემით“ : „მართკუთხა სამკუთხედში, კათეტების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს“, ე.ი. თუ მართკუთხა სამკუთხედში c  ჰიპოტენუზაა a და b კათეტები, მაშინ
c²=a²+b² . ამ თეორემის დამტკიცების შემდეგ, იმდენად დიდი ყოფილა პითაგორას სიხარული რომ მსხვერპლად 100 ხარი შეუწირავს.
         პითაგორას თეორემის მრავალი დამტკიცება არსებობს, თუმცა ყველაზე მისაღები და გამოყენებადი პითაგორეული დამტკიცებაა. პითაგორა ამბობდა:  ნახაზზე მოცემულია 2 კვადრატი. დიდი კვადრატის გვერდის გვერდის სიგრძეა a+b. თუ დიდი კვადრატის ფართობს გამოვაკლებთ a და b კათეტების მქონე მართკუთხა სამკუთხედების გაოთხკეცებულ ფართობს, მივიღებთ: 

                                             

      ძველი აღმოსავლეთის ქვეყნებში: ჩინეთში,ბაბილონსა და ეგვიპტეში, პითაგორამდე 1000 წლით ადრე იცნობდნენ მისი თეორემის კერძო შემთხვევებს; ძველ ეგვიპტეში, სააღმშენებლო საქმეში იყენებდნენ მართკუთხა სამხუთხედს, რომლის გვერდების შეფარდება იყო 3:4:5. ასეთ სამკუთხედს მათემატიკაში ეგვიპტური ეწოდება. ამ რიცხვებს კი-პითაგორას რიცხვებს უწოდებენ.

    მართკუთხა სამკუთხედს საუკუნეების მანძილზე იკვლევდნენ მათემატიკოსები და ფილოსოფოსები, ამიტომაცაა, დღეს პითაგორას თეორემის დამტკიცების ასზე მეტი მეთოდი არსებობს, მარტო „საწყისების“ I წიგნში დამტკიცების რვა ხერხია მოყვანილი. ალბათ, ამის გამო იყო, რომ ბერძენმა ფილოსოფოსმა პლუტარქემ მას სამკუთხედის მშვენება უწოდა.

    პითაგორასა და მისი მოწაფეების წინაშე დაისვა მთელი რიგი კითხვები, კერძოდ,შეიძლება თუ არა სამკუთხედის სამივე გვერდი გამოისახოს ლუწი მთელი რიცხვებით, კენტებით, სამი რიცხვიდან ორი იყოს ლუწი?

      ძნელი არ არის იმის დამტკიცება რომ მართკუთხა სამკუთხედის სამივე გვერდი არ შეიძლება იყოს კენტი.

ვთქვათ სამივე კენტია, ე.ი.  

     a=2n+1
     b=2m+1
     c=2k+1, მაშინ
  
a²+b²=(2n+1)²+(2m+1)²=4n²+4n+1+4m²+4m+1=4n²+4n+4m²+4m+2=2(2n²+2n+2m²+2m+1); აქედან გამოდის რომ c² არის ლუწი.

      ვერც ორი მათგანი იქნება ლუწი

 a=2n
 b=2m, მაშინ
  a²+b²⁼(2n)²+(2m)²=4n²+4m²=4(n²+m²)

   ტოლობის მარცხენა მხარე იყოფა 4-ზე, მაშინ ტოლობის მარჯვენა მხარეც უნდა გაიყოს, ეს კი მაშინ მოხდება, თუ c გაიყოფა 2-ზე. ამ შემთხვევაში სამივე რიცხვი აღმოჩნდება ლუწი, ეს კი როგორც აღვნიშნეთ, შეუძლებელია.

    პითაგორას თეორემა მართებულია მაშინა, როდესაც  2 რიცხვი კენტია, მესამე კი- ლუწი.

     ამრიგად, თუ არსებობს 3 ურთიერთმარტივი მთელი რიცხვი a,b და c და სრულდება ტოლობა a²+b²=c², მაშინ იმ რიცხვებიდან ორი კენტი უნდა იყოს, ხოლო მესამე ლუწი. მაგალითად: 3,4,5;  5,12,13 და 8,15,14.

    დავამტკიცოდ რომ პითაგორას სამეულებიდან - "ტრიადებიდან" ერთ-ერთი აუცილებლად იყოფა 3-ზე

         

  

პითაგორამ შეძლო ისეთი ფორმულების  შემუშავება,რომლის მეშვეობითაც მოიძებნება პითაგორას სამეულები - "ტრიადები": 
 a=2n+1,   b=2n²+2n,   c=2n²+2n+1

    მართლაც, (2n+1)²+(2n²+2n)²=4n²+4n+1+4n⁴+8n³+4n²=(2n²+2n+1)² პითაგორას ფორმულებიდან გამოდის, რომჰიპოტენუზა ყოველთვის მეტი უნდა იყოს ერთ-ერთ კათეტზე ერთი ერთეულით, მაგრამ ხომ არსებობს მართკუთხა სამკუთხედი რომლის გვერდებია 8,15,17, ეს მაგალითი იმის მაჩვენებელია რომ პითაგორას ფორმულებით შეუძლებელია მოიძებნოს მისი ყველა ტრიადა. პითაგორას მოწაფეები იღწვოდნენ ეპოვათ უფრო ძლიერი და სრულყოფილი ფორმულები. მართლაც მათ იპოვეს პითაგორას ტრიადას საძებნი ფორმულები, როცა a კენტი რიცხვია   :

  ჰარმონიული პროპორციის საინტერესო თვისება ისაა, რომ ორით თანმიმდევრული ნატურალური რიცხვების საშუალო ჰარმონიული არის წილადი, რომელთა წევრები და ერთით გადიდებული მრიცხველი პითაგორას სამეულს - "ტრიადას" წარმოადგენს.

 მათემატიკოსების ერთ-ერთ ყველაზე უდიდეს მონაპოვარს წარმოადგენდა, რადგან ეს იყო რევოლუცია მათემატიკურ აზროვნებაში, რომლის მსგავსი, მეცნიერებაში იშვიათი მოვლენაა. 

მათემატიკოსების მომდევნო თაობებმა კი იგი მუდმივი კვლევის საგნად აქციეს და მისი ჭეშმარიტი არსიც გაიგეს.

     გარდა ამ ყველაფრისა, პითაგორას მოსწავლეებმა აღმოაჩინეს მონაკვეთის გაყოფა საშუალო და კიდურა შეფარდებით, ე.წ. „ოქროს კვეთა“, რასაც მაგიურ ძალას მიაწერდნენ.
        ოქროს კვეთა არის მთელის გაყოფა ორ არატოლ ნაწილად, როდესაც დიდი ნაწილი ისე შეეფარდება მთელს, როგორც მცირე ნაწილი-დიდს.
    ოქროს კვეთის ნაწილები დაახლოებით მთელის 0,618-ისა და 0,372-ის ტოლია.